Como transformar um site feito em HTML + PHP + MySQL em um APP

Existe alguma maneira de "mascarar" um site dentro de um aplicativo, no sentido de ter a mesma estrutura feita para a WEB?

Depende do seu objetivo se vc quer só ser listado na loja, pode ser interessante sim usar o cordova pra empacotador seu site, porém vc vai ter bastante trabalho e pode esbarrar na validação da loja. Mas se vc só quer que seu site tenho uma comportamento de app vc pode implementar um PWA esse vai se bem mais simples.

Em fim vai depender muito do que vc tá precisando e qual resultado final você busca.

Atte

Na verdade o site não precisa ter um comportamento de APP, nesse primeiro momento gostaria apenas de ter o site sendo um APP mesmo (mesmo comportamento de um navegador), estou no processo de validar a ideia. Se der certo, mais para frente acho que vale a pena fazer um desenvolvimento voltado para APP. Mas não gostaria de reescrever o código ou coisa do tipo....

Se estiver falando de um aplicativo para smartphone, a parte do PHP e MySQL você não vai conseguir empacotar, mesmo usando o Ionic ou similar. O backend vai ter que rodar em uma hospedagem da mesma forma que deve ser hoje.

O jeito mais simples, seria trabalhar o front-end para torná-lo um PWA. Que dá uma experiência de app nativo para páginas web.

O jeito mais gambiarra é criar um app apenas com uma WebView que aponta para a sua página na web. Há vários aplicações assim na playstore que usa o ReactNative ou Flutter para fazer isso, e para desktops o pessoal usa o Electron para chegar nesse objetivo. Lembrando que isso não é a solução ideal, mas é uma saída possível.

Eu particularmente, para um projeto sério, eu não faria nada desse tipo. Se o webapp funciona bem, eu manteria funcionando apenas no navegador. Se ser um app é importante para o processo, eu desenvolveria um app focado na UX de smartphone, pois esses "apps convertidos" normalmente pecam nesse ponto de UX, além de terem uma performance lastimável.

Se referir a contexto de app desktop tem o Electron