Como funciona uma automação de cobrança recorrente de um saas?

Na minha carreira, a maioria dos projetos eram monetizados sem alguma integração. Tenho curiosidade de saber como é o fluxo em um site que tem assinatura.

Como faz esse vínculo de um usuário do site e o pagamento? Como acontece essa verificação se assinatura está em dia? E como é feita a comprovação e a sinalização de que foi pago (do serviço de pagamento para o site)?