Tirei essa prova de um livro de Cálculo que estou lendo, quis salvá-la no meu blog e achei válido trazer pra cá também pra exercitar o pensamento matemático da galera.

Definições

Primeiro recordamos que números pares são os inteiros $\pm2, \pm4, \pm6, \pm8,...$, que podem ser escritos na forma $2n$ para algum inteiro $n$. Um número ímpar é um inteiro como $\pm1, \pm3, \pm5, \pm7,...$, que pode ser escrito na forma $2n+1$ para algum inteiro $n$. Então $6=2\cdot3$ é par (escolhemos $n=3$) e $11=2\cdot5+1$ é ímpar (escolhemos $n=5$).

Observamos que o quadrado de um número par é par. Com efeito, se $n$ é um inteiro e $2n$ é um número par, então

$$ (2n)^2=4n^2 $$

é um número par, que pode ser escrito $2(2n²)$, o produto de $2$ pelo inteiro $2n²$.

O quadrado de um número ímpar é ímpar. Para provar isso, seja $2n+1$ um número ímpar ($n$ sendo um inteiro). Então seu quadrado é $$ (2n+1)²=4n²+4n+1 $$ $$ \hspace{5.5em} =2(2n²+2n)+1 $$

Como $2n²+2n$ é um inteiro, obtivemos o quadrado de nosso número ímpar na forma $2m+1$ para algum inteiro $m$, e então mostramos que seu quadrado é ímpar.

Prova

Estamos agora prontos para provar que a raiz quadrada de 2 não é um número racional. Suponhamos que seja. Isso significa que podemos achar um número racional $a$, tal que $a²=2$. Podemos escrever

$$ a=\frac{m}{n} $$

onde $m,n$ são inteiros, e nem $m$ nem $n$ é $0$. Além disso, podemos supor $m$, $n$ não simultaneamente pares porque, dividindo-os por $2$ quanto possível, podemos cancelar as potências de $2$ de pelo menos um deles. Assim, podemos admitir que $m$ ou $n$ é ímpar.

Da hipótese de que $a²=2$ obtemos $(m/n)^2=2$, ou

$$ \frac{m^2}{n²}=2 $$

Multiplicando ambos os membros desta equação por $n²$ obtemos

$$ m²=2n² $$

e $m²$ é então par. Pelo que vimos acima, isto significa que $m$ é par e podemos escrever $m=2k$ para algum inteiro $k$. Substituindo, obtemos

$$ (2k)²=2n² $$

ou $4k²=2n^2$. Cancelamos o $2$ e obtemos $2k²=n²$. Isto significa que $n²$ é par e, consequentemente, pelo que vimos acima, que $n$ é par. Concluímos assim que $m$ e $n$ são pares, o que contradiz o fato de que pelo menos um deles é ímpar. Podemos então concluir que não existe nenhuma fração $m/n$ cujo quadrado seja $2$.

$$ \sqrt{2} \subset \mathbb{I} $$