Algumas correções importantes:

Embora a relação vaca, queijo e leite possa expressar de forma simples o conceito do teorema fundamental do cálculo, não é uma forma correta de se exemplificar. Por muito tempo os matemáticos se preocuparam em problemas de calcular áreas, como, por exemplo, Arquimedes, com a quadratura da parábola, futuramente a quadratura da hipérbole e vários outros métodos para obter áreas de superfícies. Esses métodos, em sua maioria eram de exaustão e não eram nem um pouco práticos. Mas enfim, o conceito de Derivada e Integral é puramente matemático: Enquanto a derivada expressa a variação de uma quantidade, a integral expressa uma área.

Diferenciabilidade

O formalismo de Newton e Leibniz ainda era muito rudimentar, muito do desenvolvimento de ambos é completamente errônio nos dias de hoje e muito complicado. Newton, por exemplo, costumava expressar todas as funções como uma série de potência, pois julgava que sempre podia fazê-lo, contudo, não imaginava que essas séries poderiam ser divergentes, algo que invalida muitos dos seus resultados.

A forma com que, trabalhando em problemas completamente diferentes ambos chegaram aos mesmos resultados é algo realmente facinante e evidencia de como uma boa construção lógica da matemática pode levar a muitos avanços (algo ainda mais visível com os trabalhos de Hilbert, Dedekind e Couchy). Colocando a parte histórica um pouco de lado, diferenciabilidade significa o seguinte:

Uma dada função f, em um dado ponto a é dita diferenciável se, e somente se, $f(x) = f(a) + (x-a)f(x) + r(x)$, onde r(x) tende a 0 muito mais rapidamente que x-a. O que isso tudo significa em termos matemáticos?

Perceba que, a menos da expressão $r(x)$, o valor da função f em x é dado pela reta $f(a) + (x+a)f'(x)$. Isso significa que, quando x está muito próximo de a, localmente a função se aproxima muito de uma reta. É aí que está o pulo do gato, quando x = a, f(x) = f(a), portanto, $f(a) + (x+a)f'(x)$ é uma reta tangente a f(a). Ainda mais: quando x está muito próximo de a, podemos rearranjar a expressão para $f(x) = [f(a)-af'(x)] + xf'(x)$, evidenciando aida mais que $f'(x)$ é o coeficiente angular da reta, ou seja, quando x está próximo de a, f(x) varia f'(x). Como pode perceber, Newton e Leibniz estavam, na verdade, trabalhando no mesmo problema, mas com aplicações diferentes.

Teorema fundamental do cálculo

Primeiro precisamos de um bom conceito de integral, por isso vamos utilizar a integral de Riemann (a mesma que você aprendeu no cálculo 1).

Se $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ é diferenciável em [a,b] com f' integrável à Riemann em [a,b], então $\int_{a}^{b} f'(x) ,dx = f(b) - f(a) $

prova:

Vamos expressar $f(b) - f(a) = f(x_N) - f(x_{N-1}) + f(x_{N-1})-f(x_{N-2}) + ... + f(x_2)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_0)$

Assim, pelo Teorema do Valor Médio:

$f(b) - f(a) = \sum_{j=1}^{N} f'(\xi_j)(x_j-x_{j-1})$

E, pela definição da integral de Riemann:

$ f(b) - f(a) = \int_{a}^{b} f'(x) ,dx $

O que Newton e Leibniz perceberam, foi exatamente essa relação, que é basicamente de operações inversas.

O maior impacto do cálculo

Simplesmente os objetos mais importantes da matemática moderna: equações diferenciais.