Olha, não encontrei nada que ajude a resolver o negócio do nvimtree, o que tu pode fazer é uma gambiarrinha (não recomendo), pra ao entrar no nvim ele executar o comando NvimTreeOpen. Cria o arquivo (se não existir) ~/.config/lvim/config.lua (linux), não tenho certeza sobre windows. E adiciona o seguinte:

local autocmd = vim.api.nvim_create_autocmd

-- Execute determinada função no evento `VimEnter`.
autocmd("VimEnter", {
  pattern = "*",
  callback = function()
      vim.cmd [[ NvimTreeOpen ]]
  end,
})

Agora na questão de abrir no insert mode eu não recomendaria, porque não faz muito sentido e acaba perdendo uma boa parte do nvim, e talvez acabe te levando a problemas muito ruins de se resolver. De qualquer forma, vamos lá. Adiciona no ~/.config/lvim/config.lua o seguinte:

local autocmd = vim.api.nvim_create_autocmd

-- Execute determinada função no evento `VimEnter`.
autocmd("VimEnter", {
  pattern = "*",
  callback = function()
      -- Executa o comando `startinsert`.
      vim.cmd [[ startinsert ]]
  end,
})