Essa pergunta é complexa e gosto de quebrar em camadas. Antes de pular para a resposta, contexto: consigo opinar sobre fac. pública (me formei em Eng. Química na UNICAMP) e apenas conheço pessoas que foram para particular.

E eu gosto de ver a vida sob a ótica de probabilidade, ou seja, quais ações minhas aumentam minha probabilidade de atingir minhas metas de sucesso. Logo entenda que minha resposta é pensando qual eu acho que AUMENTA A PROBABILIDADE, mas isso não quer dizer que outros caminhos não são possíveis.

Camada 1: Aprendizado técnico do curso escolhido

Várias respostas dizem, e eu concordo, que quanto mais o aluno quiser aprender e se esforçar, mais ele aprenderá. A faculdade não faz milagre, mas...

...se pegarmos as top universidades públicas vs as top universidades particulares para o que vc pretender cursar, há uma correlação clara de onde há maior densidade de professores e pesquisadores. SPOILER: públicas. Portanto, há uma maior probabilidade de vc encontrar profs e pesquisadores referências nacional e internacionalmente durante suas aulas para aprender com eles.

Agora, há diferentes tipos de faculdades públicas e privadas. Para cada segmente existem as boas e as ruins para seu curso. Um jeito de identificar quais faculdades públicas são boas para o seu curso faça: 1) pesquisa de ranking no Google; 2) procure no LinkedIN pessoas que fizeram seu curso em faculdades encontradas no ponto 1) e pergunte a eles o que acharam. O não vc já tem.

Camada 2: Networking

Não se engane, networking com pessoas boas é um fator que aumenta, em muito, a probabilidade de ter sucesso na vida. Quem cultiva networking chega mais longe.

Na faculdade pública há, geralmente, uma densidade maior de pessoas que, no futuro, vão atingir grandes patamares de sucesso (no caso de alunos), e de profs/pesquisadores que já estão nesse patamar. Ao vc entrar nesse ambiente, vc fica propenso a iniciar um networking com eles: fazendo amizades que no futuro criarão empresas ou estarão em grandes cargos e lembrará de ti, profs que vão te chamar para fazer pesquisas com eles (apenas alguns exemplos de como por em prática esse networking). A faculdade pública no Brasil é elitista e as boas difícieis de entrar. Portanto quem entra já demonstra uma característica de esforço e essa característica é um traço comum em quem alça voos longe na vida.

Camada 3: Crescimento pessoal e cultural

Quase nunca vejo esse ponto nas respostas. A vida na faculdade é muito mais que estudar e pensar no futuro. Ela pode ser uma oportunidade única de crescimento na vida. As grandes universidades públicas terão pessoas de todo o brasil, trazendo consigo diversos traços culturais e visões de mundo com eles, e muitas tem um campus grande com diversas faculdades juntas (exatas, médias, biológicas e artes) o que torna a troca de cultura entre os diferentes perfis de pessoas que fazem os cursos muito rico. Isso contribui e muito para vc como pessoa.

Sem contar que muitas dessas pessoas mudam de cidade e vão viver longe dos pais com uma idade nova para fazer a faculdade. Isso provavelmente acontecerá contigo. Morar fora de casa é um grande passo no crescimento pessoal. Devido a maioria morar fora, fazer amizades (que serão um futuro networking) fica fácil, pois todos entendem o sentimento da "saudade de casa" e se juntam para minimizar isso. O ser humano é um ser social.

Camada 4: As empresas Brasileiras investem em faculdades públicas

As empresas brasileiras olham diferente para o CV de quem faz faculdade pública de renome, sim!

Mas o que ninguém comenta é que: 1) nas faculdades públicas as empresas estão presentes investindo uma TONELADA DE DINHEIRO. Na UNICAMP, por exemplo, tem um instituto de pesquisa chamado ELDORADO focado em programação onde empresas pequenas (ironia aqui) como Apple, Microsoft, entre outras do naipe contratam alunos (geralmente de comp) para trabalhar para eles de uma forma atrelada a pesquisa. Não preciso nem dizer que vc estando nesse ambiente está a um pequeno passo de sair do ELDORADO e ir trabalhar em uma big tech. Conheço inúmeros amigos que fizeram estágio lá para Apple e foram efetivados após o curso na própria Apple e, pasme, indo trabalhar para fora direto (Londres, San Francisco, etc). Novamente, networking

Empresas, governo e professores investem em iniciativas de incubamento de startups em diferentes universidades e a maior concentração estão nas públicas. Tendo esse ambiente presente, mais alunos estarão criando startups, logo mais probabilidade de vc conhecer alguém que vai criar uma startup (isso se não for vc a pessoa). IFOOD, por ex, foi criado por um eng. da comp da UNICAMP com a incubação de startups da própria faculdade

Camada 5: Faculdades públicas tem iniciativas com universidades globais

Uma USP, UNICAMP, ITA da vida tem diversos acordos de intercâmbio de alunos e professores com faculdades globais de renome como MIT, CAMBRIDGE, STANFORD, etc... em praticamente todos os países tem uma faculdade parceira das grandes públicas BR. Logo, há um aumento de probabilidade vc estar em uma faculdade que tem isso. Ao fazer uma pesquisa científica com um professor que tem contatos internacionais, fica fácil vc ir morar fora estudando um tempo em uma faculdade top 10 do mundo. Novamente, networking.

RESUMO

Acredito fortemente que uma boa faculdade pública aumenta sua probabilidade de ter sucesso na vida. É garantia? Não, por isso falo de probabilidade.

Se quiser seguir área acadêmica: vc tem professores renomados NO MUNDO, com linhas de pesquisa em outras universidades para vc ir morar fora.
Se quiser empreender, terá um ambiente de incubação de startups fomentado pela própria faculdade, professores e iniciativa privada
Quer ir pro mercado de trabalho? Empresas tech contratam dentro da própria faculdade
Quer enviar CV para qualquer outra empresa? O peso da faculdade pública vai estar ali para sempre. Esse peso diminui conforme vc avança na carreia, mas para época de estágio e 1o emprego full-time não se engane, é uma linha poderosa de se ter no CV
Não quer ser uma pessoa de sucesso e apenas viver uma vida digna? O crescimento pessoal da faculdade pública e o contato com diferentes pessoas muito diferentes de ti vai te acompanhar para sempre.

Só esqueci de comentar que sim, conversando com pessoas d eprivada fica claro que a universidade pública joga os alunos para se virarem enquanto as privadas ajudam um pouco mais. Essa característica de SE VIRAR parece balela, mas é um "músculo" exercitado que vai fazer a diferença para sempre na sua vida, independente do cargo.

Espero ter ajudado! Lembre-se, independente da escolha, o resultado final depende do seu esforço + uma pita de sorte. A faculdade apenas influenciará a pitada de sorte presente na equação. O esforço é todo seu! Tenho pessoas próximas muito bem sucedidas que não fizeram faculdade pública :)