Olá Pedro,

Para que voce consiga fazer isso, voce deve retornar a variável local que está dentro da função com o return. E quando chamar a função voce deve colocar o valor retornado dentro de uma variávelPara que voce consiga fazer isso, voce deve retornar a variável local que está dentro da função com o return. E quando chamar a função voce deve colocar o valor retornado dentro de uma variável.

Deste modo:

//função q inicia e pede os dados
function init(){
    let name = prompt('Qual seu nome?')
    let age = prompt('Qual sua idade?')

    const usuario = new user(name, age); //criando o objeto
    return usuario
}
//função que cria a estrutura do objeto
var user = function(name, age){
    this.nome = name,
    this.idade = age
}
//inicio do programa
var retorno = init()
let n = document.getElementById('nome') //id da tag <p> para o nome
let a = document.getElementById('age') //id da tag <p> para idade

//inserindo nas respectivas tags
n.innerText = retorno.nome
a.innerText = retorno.idade

Recomendo estudar sobre os tipos das variáveis, sendo elas var, let e const, tem na documentação oficial do javascript, mas o Felipe Deschamps postou um vídeo manerinha, aqui tá o link Eu quero saber se você conhece responder essas 3 perguntas de Javascript!

Talvez seja necessário olhar mais de uma vez, eu por exemplo quando comecei vi este mesmo vídeo, entendi um pouco e segui estudando outras coisas, depois de uns 6 meses eu vi de novo e entendi completamente.

Lembre-se de sempre voltar nos conteúdos que não ficaram bem fixados.

Boa Sorte aí